双信封悖论
概率论中的经典悖论
📚 Introduction
✉️ 问题设定
有两个信封，一个信封里的钱是另一个的两倍。你随机选择一个信封，打开看到里面有X元。 现在你可以选择：保留这个信封，或者换到另一个信封。你应该换吗？
🤔 看似合理的推理
另一个信封要么是2X（如果你选的是小的），要么是X/2（如果你选的是大的）。 两种情况概率各50%，所以换的期望值是：
E = 0.5 × 2X + 0.5 × (X/2) = X + 0.25X = 1.25X
1.25X > X，所以似乎总应该换？但这显然矛盾——因为同样的推理对另一个信封也成立！
💡 悖论的解答
错误在于：当你看到金额X时，不能简单地假设"另一个是2X或X/2各50%"。 X本身是随机变量，它的分布取决于信封的设置方式。 正确的分析表明：换与不换的期望收益是相同的。
📐 正确的数学分析
设小信封金额为S，大信封为2S。无论你最初选中哪个：
- 选中小信封（概率50%）：换得2S，不换得S
- 选中大信封（概率50%）：换得S，不换得2S
换的期望值 = 0.5×2S + 0.5×S = 1.5S
不换的期望值 = 0.5×S + 0.5×2S = 1.5S
两者相等！
🎮 Try It Yourself
选择一个信封
📨信封 A
📨信封 B
📊 Batch Simulation
通过大量模拟来验证：换与不换的胜率是否真的相同？
模拟次数：