圣彼得堡悖论
期望值理论的局限性
📚 Introduction
🎰 游戏规则
这是一个简单的抛硬币游戏：不断抛硬币直到出现反面。 如果第n次才出现反面，你获得 2^n 元。
📊 收益概率表
| 抛掷次数 | 收益 | 概率 | 期望贡献 |
|---|---|---|---|
| 1 | ¥2 | 50.0000% | ¥1 |
| 2 | ¥4 | 25.0000% | ¥1 |
| 3 | ¥8 | 12.5000% | ¥1 |
| 4 | ¥16 | 6.2500% | ¥1 |
| 5 | ¥32 | 3.1250% | ¥1 |
| 6 | ¥64 | 1.5625% | ¥1 |
| 7 | ¥128 | 0.7813% | ¥1 |
| 8 | ¥256 | 0.3906% | ¥1 |
| ... | ... | ... | ¥1 |
🤯 悖论所在
E = (1/2)×2 + (1/4)×4 + (1/8)×8 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = ∞
数学上，这个游戏的期望收益是无穷大！按照期望值理论，你应该愿意付任何价格来玩这个游戏。 但实际上，大多数人只愿意付几十元。这就是悖论！
💡 解决方案
丹尼尔·伯努利提出了"效用"概念：人们关心的不是金钱本身，而是金钱带来的效用。 效用函数通常是对数形式——这意味着从100元到200元的效用增加， 远大于从10000元到10100元。用效用期望值计算，这个游戏的合理价格就变得有限了。
🎮 Try It Yourself
🪙
📊 Batch Simulation
通过大量模拟来观察实际收益分布。注意平均值和中位数的巨大差异！
模拟次数：